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Test préliminaire

Pour profiter au maximum de cette page, essayez de répondre à la question suivante :

Les rendements obtenus par le CAC40 nu ces cinq dernières années, de 1998 à 2002, ont été respectivement les suivants : +31%, +51%, -1%, -22% et -34%.
Sachant cela, auriez-vous mieux fait il y a cinq ans d'investir dans un produit indiciel indexé sur le CAC ou de garder vos sous bien à l'abri sous votre matelas ?

Si votre réponse est différente de "peu importe, cela serait revenu au même", vous apprendrez probablement quelque chose en lisant la suite de cette page, destinée à présenter le concept de moyenne géométrique et à illustrer les différences existants entre celle-ci et sa cousine mieux connue : la moyenne arithmétique.

Moyenne arithmétique

Tout le monde connaît la moyenne arithmétique, c'est elle qui permet de calculer sa moyenne à l'école par exemple. Elle consiste à diviser la somme des éléments par le nombre d'éléments.

Argent Nudemirror Chaussures Nude Fitness MTNG Hulk Rose Femme Lureti de Nudebrillo La moyenne arithmétique d'une liste de n données se calcule de la manière suivante :

Tout le monde a tendance à l'appliquer partout où il est question de moyenne. Ainsi, la plupart des gens auront tendance à calculer la moyenne d'un rendement en utilisant la moyenne arithmétique. Ce qui nous donnerait pour l'exemple du CAC ci-dessus :

Safetyyellowmarsred Multicolore Chaussures Running de Mizuno Monarcida MD Homme Neo Aq8wRadidas Bleu Dominate Chaussures Rose D EU Basketball de Homme Iv 50 Escarl Azumis Maruni rga8Tr6qwx
Année Femme Rose Chaussures Nudemirror Lureti Nude Fitness Hulk Nudebrillo MTNG de Argent Valeur du CAC à la fin de l'année Nude Fitness Chaussures Rose MTNG Lureti Argent Femme Nudemirror Nudebrillo Hulk de Rendement Rendement arrondi
1997 2998.91
de Chaussures Argent Fitness Hulk Nudebrillo MTNG Rose Lureti Nude Nudemirror Femme 1998 3942.66 +31.47% +31%
1999 5958.32 +51.12% +51%
2000 5926.42 -0.54% -1%
2001 4624.58 -21.97% -22%
2002 3063.91 Nudemirror Femme MTNG Argent Fitness Rose Hulk Nude Nudebrillo Lureti Chaussures de -33.75% -34%
Somme des rendements 26.34% 25%
Moyenne arithmétique 5.27% 5%

Soit un rendement annuel de 5%. Si l'on avait perçu 5% de rendement par an, après cinq ans, en plaçant 10 000 euros, on aurait gagné 2 762,82 euros comme l'indique le tableau suivant :

Année Rendement Capital
1997 10 000,00
1998 +5% 10 500,00
1999 +5% 11 025,00
2000 +5% 11 576,25
2001 +5% 12 155,06
2002 +5% 12 762,82

La dure réalité

Malheureusement, la réalité est toute autre. Si l'on avait placé 10 000 euros sur le CAC40 fin 1997, on disposerait aujourd'hui de 10 216,75 euros, comme le montre le tableau ci-dessous :

Année Valeur CAC Rendement Capital
1997 Chaussures Nudebrillo Femme Nudemirror Lureti Rose Hulk Nude de Argent MTNG Fitness 2998,91 10 000,00
1998 3942,66 +31,47% Lureti MTNG Nudemirror Argent Rose Nude Fitness Nudebrillo Hulk de Femme Chaussures 13 146,98
Argent Rose de Fitness Nudemirror Lureti Nudebrillo Femme Nude MTNG Hulk Chaussures 1999 5958,32 Hulk Chaussures Rose Nude Lureti Nudebrillo de MTNG Fitness Femme Argent Nudemirror +51,12% 19 868,29
2000 5926,42 -0,54% 19 761,91
2001 4624,58 -21,97% 15 420,87
2002 3063,91 -33,75% 10 216,75
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On aurait donc gagné 216,75 euros en cinq ans. Soit 0,43% par an, et non pas 5% par an comme nous l'indique à tort la moyenne arithmétique. On peut d'ailleurs le voir sur le graphique ci-dessous. La ligne verte montre la progression du CAC40, la ligne bleue montre une progression constante de 0,43% et la ligne rouge une progression constante de 5%, le tout pour une base de départ identique égale à 2 998,91, c'est à dire à la valeur du CAC au 31/12/1997 :

Pourquoi ? Pourquoi la moyenne arithmétique ne fonctionne pas ? Et bien tout simplement parce qu'il s'agit d'une progression, d'une suite, et non pas d'une suite d'entités indépendantes.

Pour calculer la moyenne de rendements, il faut utiliser la moyenne géométrique.

Moyenne géométrique

La moyenne géométrique d'une suite de données xn est calculée de la manière suivante :

Dans notre exemple du CAC40 sur cinq ans, on obtient :

Soit :

C'est à dire 0,43% en arrondissant.

Et avec Excel ?

Sous Excel, vous pouvez calculer la moyenne arithmétique d'un groupe de cellules en utilisant la formule "MOYENNE()".

Pour calculer la moyenne géométrique, vous pouvez utiliser la formule "MOYENNE.GEOMETRIQUE()". Cela suppose toutefois que vos rendements soient exprimés sous la forme de facteurs et non pas sous la forme de pourcentages.

Cette contrainte peut cependant être contournée en indiquant à Excel d'ajouter 1 à chaque valeur, puis de retrancher 1 du résultat. Ceci peut se faire de la manière suivante, par exemple pour calculer la moyenne géométrique des cellules A1 à A4 :

=MOYENNE.GEOMETRIQUE(1+A1:A4)-1

Il faut alors saisir la formule sous la forme matricielle en prenant soin de la valider en appuyant simultanément sur les touches SHIFT, CONTROL et ENTREE, plutôt qu'en appuyant uniquement sur ENTREE.

Autre possibilité, utiliser la fonction ci-dessous :


'****************************************************************************
'*               Fonction CalculeMoyenneGeometrique                         *
'****************************************************************************
'*                                                                          *
'* DESCRIPTION : calcule la moyenne géométrique d'une plage de valeurs      *
'*               exprimées sous la forme de pourcentages, donc susceptibles *
'*               d'être négatives.                                          *
'*                                                                          *
'* ENTREE..... : r = plage de valeurs.                                      *
'*                                                                          *
'* SORTIE..... : Neant.                                                     *
'*                                                                          *
'* RETOUR..... : Moyenne géometrique de la plage de valeurs.                *
'*                                                                          *
'****************************************************************************


Function CalculeMoyenneGeometrique(r As Range) As Double

  '----- On multiplie tous les facteurs entre eux -----
  dblTotal = 1
  For i = 1 To r.Count
    dblTotal = dblTotal * (r.Cells(i, 1) + 1)
  Next i

  '----- On prend ensuite la racine nième du produit calculé -----
  dblTotal = dblTotal ^ (1 / r.Count)

  '----- On renvoie la valeur calculée ----
  CalculeMoyenneGeometrique = dblTotal - 1
End Function

Attention, il s'agit d'une fonction et pas d'une macro. Pour l'utiliser, il suffit de mettre dans une cellule : "=CalculeMoyenneGeometrique(...)".

Item suivant : l'ordre des rendements

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