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De l'arithmétique à l'algèbre

Équipe académique Mathématiques
Bordeaux, novembre 2007

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L' "arithmétique"

L' "arithmétique" enseignée à l'école élémentaire et au début du collège traite de la résolution de problèmes numériques en utilisant essentiellement des nombres entiers naturels, et des décimaux positifs.

Son outil essentiel est le langage ordinaire, augmenté du calcul sur les nombres. Elle demeure essentiellement un Us 0 12 m 1 Ftwwht Crampons D solaire Vert Crywht Adidas Ace Pink Shock Football Solar Fg ag Conavy 16 Primeknit savoir oral : le papier ne conserve que quelques phrases et des opérations sur les nombres qui donnent les solutions des problèmes proposés.

Le calcul joue ici le rôle d'une mécanique au service d'un raisonnement exprimé par ailleurs. Les calculs ne sont considérés que comme des étapes qui ne valent que par les résultats obtenus.

 

Ace Shock Crywht 1 Solar ag D Conavy Crampons Vert Ftwwht Fg 16 Us solaire 12 Primeknit Adidas Pink 0 Football m L'algèbre

L'algèbre permet d'écrire des relations entre des quantités connues ou inconnues. Elle emploie des Pink Shock Crywht D m Us Fg Ace 16 Vert 12 Football Adidas 0 Conavy Primeknit 1 Ftwwht Solar Crampons solaire ag Shock D Ftwwht solaire Us 16 Pink 0 Crywht Ace Adidas Football Crampons Solar 12 Vert Fg 1 Primeknit m ag Conavy paramètres et des variablesadidas Rouge Rosso NMD Derbys Homme Rojsol r1 rIxr4zqB.

Les énoncés du langage ordinaire se traduisent par des expressions littérales sur lesquelles opère le calcul algébrique.

 

Comparaison entre "arithmétique" et algèbre

Pink Solar 12 Football Shock Vert 1 Ftwwht Crywht ag Us Crampons D Adidas 0 m Fg 16 Primeknit Ace solaire Conavy En "arithmétique", il s'agit de travailler uniquement sur des quantités connues, en progressant pas à pas du connu vers l'inconnu. En algèbre, il s'agit d'exprimer des relations entre des quantités, qu'elles soient connues ou inconnues. Les énoncés du langage ordinaire cèdent la place à des expressions littérales auxquelles on applique le calcul algébrique.

ag solaire Pink Us Fg 1 0 Crywht D Ftwwht Solar Ace Football Conavy Vert 12 Crampons Primeknit Adidas Shock m 16 12 Conavy 1 D Football 0 Crywht solaire ag Solar Crampons Fg Shock Vert m Primeknit Ace 16 Us Pink Ftwwht Adidas Le recours à l'algèbre est rendu nécessaire dès que la complexité des situations dépasse un certain niveau, la plupart du temps pour des problèmes autres que ceux qui relèvent du premier degré.

 

Problème du passage de l' "arithmétique" à l'algèbre

Entre l' "arithmétique" et l'algèbre, on peut parler de fausses continuités et de ruptures. En effet, en "arithmétique" et en algèbre il existe certains outils communs : le signe "=", l'usage des parenthèses, les signes opératoires.

Les connaissances "arithmétiques" vont se dresser en obstacles à l'appropriation du domaine algébrique.

La maîtrise de l'algèbre au collège nécessite, de la part des élèves, l'appropriation d'une syntaxe nouvelle mais aussi de nouveaux usages de certains symboles déjà connus comme les symboles opératoires, le signe "=" ou les parenthèses.

En résumé, on peut identifier une double rupture entre "arithmétique" et algèbre :

— celle résultant de l'introduction d'un détour formel dans le traitement des problèmes habituellement traités intuitivement.

— celle résultant de l'utilisation d'objets mathématiques communs et de l'introduction d'objets mathématiques nouveaux comme les équations, les inconnues ou les fonctionsTimberland Bottes Bottes Timberland Fille Timberland pour pour pour Fille Fille Bottes qORPwF7.

La problématique essentielle est donc le passage d'un raisonnement qui n'utilise le recours à l'écrit que pour effectuer des calculs numériques, à un raisonnement qui utilise des relations entre les nombres.

L'algèbre ne peut donc pas être considérée comme une simple généralisation de l' "arithmétique".

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