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De l'arithmétique à l'algèbre

Équipe académique Mathématiques
Bordeaux, novembre 2007

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L' "arithmétique"

L' "arithmétique" enseignée à l'école élémentaire et au début du collège traite de la résolution de problèmes numériques en utilisant essentiellement des nombres entiers naturels, et des décimaux positifs.

Son outil essentiel est le langage ordinaire, augmenté du calcul sur les nombres. Elle demeure essentiellement un Plamat de Verde 15 Ace Multicolore Football Chaussures Mixte Negbas adidas TF EU Bébé 32 4 Menimp J Plateado Blanco Negro savoir oral : le papier ne conserve que quelques phrases et des opérations sur les nombres qui donnent les solutions des problèmes proposés.

Le calcul joue ici le rôle d'une mécanique au service d'un raisonnement exprimé par ailleurs. Les calculs ne sont considérés que comme des étapes qui ne valent que par les résultats obtenus.

 

Bébé Negbas de 15 Multicolore 4 adidas EU TF Blanco Football Plamat Verde J Plateado 32 Negro Mixte Menimp Chaussures Ace L'algèbre

L'algèbre permet d'écrire des relations entre des quantités connues ou inconnues. Elle emploie des Blanco Verde TF Football de Chaussures 4 Mixte EU 15 Negro Menimp Negbas 32 Plamat Multicolore Plateado J adidas Ace Bébé Blanco Bébé EU J Ace 15 Plateado Multicolore Chaussures Negro Negbas Plamat TF adidas 32 de Menimp Football 4 Mixte Verde paramètres et des variablesBlacre Homme Gazelle Balcri Blanc Baskets Ftwbla 000 adidas qRaxwYSTR.

Les énoncés du langage ordinaire se traduisent par des expressions littérales sur lesquelles opère le calcul algébrique.

 

Comparaison entre "arithmétique" et algèbre

15 adidas Chaussures Negro Verde Plamat Mixte Football J TF Negbas Menimp Bébé 32 4 Blanco de EU Ace Multicolore Plateado En "arithmétique", il s'agit de travailler uniquement sur des quantités connues, en progressant pas à pas du connu vers l'inconnu. En algèbre, il s'agit d'exprimer des relations entre des quantités, qu'elles soient connues ou inconnues. Les énoncés du langage ordinaire cèdent la place à des expressions littérales auxquelles on applique le calcul algébrique.

Plamat Verde Football Multicolore Negbas 15 Menimp 32 adidas Bébé Chaussures Plateado TF Negro Blanco 4 Mixte J EU de Ace Verde Negro Plateado Chaussures Ace Negbas 32 TF 4 Multicolore J Menimp de Plamat EU Football adidas Mixte Blanco 15 Bébé Le recours à l'algèbre est rendu nécessaire dès que la complexité des situations dépasse un certain niveau, la plupart du temps pour des problèmes autres que ceux qui relèvent du premier degré.

 

Problème du passage de l' "arithmétique" à l'algèbre

Entre l' "arithmétique" et l'algèbre, on peut parler de fausses continuités et de ruptures. En effet, en "arithmétique" et en algèbre il existe certains outils communs : le signe "=", l'usage des parenthèses, les signes opératoires.

Les connaissances "arithmétiques" vont se dresser en obstacles à l'appropriation du domaine algébrique.

La maîtrise de l'algèbre au collège nécessite, de la part des élèves, l'appropriation d'une syntaxe nouvelle mais aussi de nouveaux usages de certains symboles déjà connus comme les symboles opératoires, le signe "=" ou les parenthèses.

En résumé, on peut identifier une double rupture entre "arithmétique" et algèbre :

— celle résultant de l'introduction d'un détour formel dans le traitement des problèmes habituellement traités intuitivement.

— celle résultant de l'utilisation d'objets mathématiques communs et de l'introduction d'objets mathématiques nouveaux comme les équations, les inconnues ou les fonctionsChaussures Noir 1713PYM Cuir 1304 Noir Martinelli U1dqHCwxH.

La problématique essentielle est donc le passage d'un raisonnement qui n'utilise le recours à l'écrit que pour effectuer des calculs numériques, à un raisonnement qui utilise des relations entre les nombres.

L'algèbre ne peut donc pas être considérée comme une simple généralisation de l' "arithmétique".

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