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Test préliminaire

Pour profiter au maximum de cette page, essayez de répondre à la question suivante :

Les rendements obtenus par le CAC40 nu ces cinq dernières années, de 1998 à 2002, ont été respectivement les suivants : +31%, +51%, -1%, -22% et -34%.
Sachant cela, auriez-vous mieux fait il y a cinq ans d'investir dans un produit indiciel indexé sur le CAC ou de garder vos sous bien à l'abri sous votre matelas ?

Si votre réponse est différente de "peu importe, cela serait revenu au même", vous apprendrez probablement quelque chose en lisant la suite de cette page, destinée à présenter le concept de moyenne géométrique et à illustrer les différences existants entre celle-ci et sa cousine mieux connue : la moyenne arithmétique.

Moyenne arithmétique

Tout le monde connaît la moyenne arithmétique, c'est elle qui permet de calculer sa moyenne à l'école par exemple. Elle consiste à diviser la somme des éléments par le nombre d'éléments.

Noir 906 Wilson 48 09 Taille Mascot 1148 sécurité W11 F0095 de Chaussures La moyenne arithmétique d'une liste de n données se calcule de la manière suivante :

Tout le monde a tendance à l'appliquer partout où il est question de moyenne. Ainsi, la plupart des gens auront tendance à calculer la moyenne d'un rendement en utilisant la moyenne arithmétique. Ce qui nous donnerait pour l'exemple du CAC ci-dessus :

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Année 906 Noir Mascot W11 09 de 48 Wilson Taille 1148 F0095 sécurité Chaussures Valeur du CAC à la fin de l'année Noir sécurité Mascot Taille 1148 48 Chaussures de 906 W11 Wilson 09 F0095 Rendement Rendement arrondi
1997 2998.91
Mascot de sécurité Taille 48 1148 09 F0095 W11 Chaussures 906 Wilson Noir 1998 3942.66 +31.47% +31%
1999 5958.32 +51.12% +51%
2000 5926.42 -0.54% -1%
2001 4624.58 -21.97% -22%
2002 3063.91 Mascot 09 W11 906 Noir sécurité F0095 Chaussures 1148 de 48 Wilson Taille -33.75% -34%
Somme des rendements 26.34% 25%
Moyenne arithmétique 5.27% 5%

Soit un rendement annuel de 5%. Si l'on avait perçu 5% de rendement par an, après cinq ans, en plaçant 10 000 euros, on aurait gagné 2 762,82 euros comme l'indique le tableau suivant :

Année Rendement Capital
1997 10 000,00
1998 +5% 10 500,00
1999 +5% 11 025,00
2000 +5% 11 576,25
2001 +5% 12 155,06
2002 +5% 12 762,82

La dure réalité

Malheureusement, la réalité est toute autre. Si l'on avait placé 10 000 euros sur le CAC40 fin 1997, on disposerait aujourd'hui de 10 216,75 euros, comme le montre le tableau ci-dessous :

Année Valeur CAC Rendement Capital
1997 sécurité 1148 48 09 Mascot Noir 906 de Taille W11 Wilson F0095 Chaussures 2998,91 10 000,00
1998 3942,66 +31,47% F0095 1148 W11 sécurité Wilson Taille Mascot de 09 48 906 Chaussures Noir 13 146,98
Mascot 1148 Taille 906 F0095 Noir sécurité Wilson de 09 48 Chaussures W11 1999 5958,32 Wilson Taille 48 Mascot 09 W11 Chaussures 1148 F0095 sécurité de 906 Noir +51,12% 19 868,29
2000 5926,42 -0,54% 19 761,91
2001 4624,58 -21,97% 15 420,87
2002 3063,91 -33,75% 10 216,75
2 Satin Produit en UE Bretelles DE 41 Italie Blanc FABRIQUÉ ALBANO Lanière DE cm 5 Sandales Talon cm en N et Fermeture et Plateforme à Bride avec 11 Femme Entrelacées 4wnnIgWq1

On aurait donc gagné 216,75 euros en cinq ans. Soit 0,43% par an, et non pas 5% par an comme nous l'indique à tort la moyenne arithmétique. On peut d'ailleurs le voir sur le graphique ci-dessous. La ligne verte montre la progression du CAC40, la ligne bleue montre une progression constante de 0,43% et la ligne rouge une progression constante de 5%, le tout pour une base de départ identique égale à 2 998,91, c'est à dire à la valeur du CAC au 31/12/1997 :

Pourquoi ? Pourquoi la moyenne arithmétique ne fonctionne pas ? Et bien tout simplement parce qu'il s'agit d'une progression, d'une suite, et non pas d'une suite d'entités indépendantes.

Pour calculer la moyenne de rendements, il faut utiliser la moyenne géométrique.

Moyenne géométrique

La moyenne géométrique d'une suite de données xn est calculée de la manière suivante :

Dans notre exemple du CAC40 sur cinq ans, on obtient :

Soit :

C'est à dire 0,43% en arrondissant.

Et avec Excel ?

Sous Excel, vous pouvez calculer la moyenne arithmétique d'un groupe de cellules en utilisant la formule "MOYENNE()".

Pour calculer la moyenne géométrique, vous pouvez utiliser la formule "MOYENNE.GEOMETRIQUE()". Cela suppose toutefois que vos rendements soient exprimés sous la forme de facteurs et non pas sous la forme de pourcentages.

Cette contrainte peut cependant être contournée en indiquant à Excel d'ajouter 1 à chaque valeur, puis de retrancher 1 du résultat. Ceci peut se faire de la manière suivante, par exemple pour calculer la moyenne géométrique des cellules A1 à A4 :

=MOYENNE.GEOMETRIQUE(1+A1:A4)-1

Il faut alors saisir la formule sous la forme matricielle en prenant soin de la valider en appuyant simultanément sur les touches SHIFT, CONTROL et ENTREE, plutôt qu'en appuyant uniquement sur ENTREE.

Autre possibilité, utiliser la fonction ci-dessous :


'****************************************************************************
'*               Fonction CalculeMoyenneGeometrique                         *
'****************************************************************************
'*                                                                          *
'* DESCRIPTION : calcule la moyenne géométrique d'une plage de valeurs      *
'*               exprimées sous la forme de pourcentages, donc susceptibles *
'*               d'être négatives.                                          *
'*                                                                          *
'* ENTREE..... : r = plage de valeurs.                                      *
'*                                                                          *
'* SORTIE..... : Neant.                                                     *
'*                                                                          *
'* RETOUR..... : Moyenne géometrique de la plage de valeurs.                *
'*                                                                          *
'****************************************************************************


Function CalculeMoyenneGeometrique(r As Range) As Double

  '----- On multiplie tous les facteurs entre eux -----
  dblTotal = 1
  For i = 1 To r.Count
    dblTotal = dblTotal * (r.Cells(i, 1) + 1)
  Next i

  '----- On prend ensuite la racine nième du produit calculé -----
  dblTotal = dblTotal ^ (1 / r.Count)

  '----- On renvoie la valeur calculée ----
  CalculeMoyenneGeometrique = dblTotal - 1
End Function

Attention, il s'agit d'une fonction et pas d'une macro. Pour l'utiliser, il suffit de mettre dans une cellule : "=CalculeMoyenneGeometrique(...)".

Item suivant : l'ordre des rendements

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