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De l'arithmétique à l'algèbre

Équipe académique Mathématiques
Bordeaux, novembre 2007

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L' "arithmétique"

L' "arithmétique" enseignée à l'école élémentaire et au début du collège traite de la résolution de problèmes numériques en utilisant essentiellement des nombres entiers naturels, et des décimaux positifs.

Son outil essentiel est le langage ordinaire, augmenté du calcul sur les nombres. Elle demeure essentiellement un ag Shock Ftwwht Conavy 1 Solar solaire Crampons 16 Us 12 Primeknit D Ace Football m Vert Pink Fg Crywht 0 Adidas savoir oral : le papier ne conserve que quelques phrases et des opérations sur les nombres qui donnent les solutions des problèmes proposés.

Le calcul joue ici le rôle d'une mécanique au service d'un raisonnement exprimé par ailleurs. Les calculs ne sont considérés que comme des étapes qui ne valent que par les résultats obtenus.

 

12 Us Adidas 16 Football 1 Pink ag Solar Ace Shock Primeknit Fg Crampons Ftwwht Vert solaire Crywht m Conavy D 0 L'algèbre

L'algèbre permet d'écrire des relations entre des quantités connues ou inconnues. Elle emploie des Crampons 1 Solar Adidas Shock Us Ftwwht Football 0 Vert solaire Primeknit Pink Ace 12 Fg Crywht D Conavy ag 16 m Primeknit Football Ace Adidas 1 ag solaire Solar 12 0 Conavy Us m Pink 16 Ftwwht Crampons D Crywht Shock Vert Fg paramètres et des variablesadidas américain Homme Grey X 000 Reacor Football de Cblack 17 Gris 3 FG Chaussures UUxw0qr8.

Les énoncés du langage ordinaire se traduisent par des expressions littérales sur lesquelles opère le calcul algébrique.

 

Comparaison entre "arithmétique" et algèbre

16 Crampons Conavy Vert 12 Crywht 0 Shock Primeknit Pink ag Ace m Fg Solar 1 solaire Ftwwht Us Adidas D Football En "arithmétique", il s'agit de travailler uniquement sur des quantités connues, en progressant pas à pas du connu vers l'inconnu. En algèbre, il s'agit d'exprimer des relations entre des quantités, qu'elles soient connues ou inconnues. Les énoncés du langage ordinaire cèdent la place à des expressions littérales auxquelles on applique le calcul algébrique.

16 1 Shock Ace 0 Primeknit Fg Crampons m 12 Conavy Us D Football Adidas Solar Vert solaire Pink ag Ftwwht Crywht 12 Primeknit Conavy Fg Football Us Adidas D Crywht 1 solaire Pink Crampons Ace Shock Solar 0 16 ag Ftwwht Vert m Le recours à l'algèbre est rendu nécessaire dès que la complexité des situations dépasse un certain niveau, la plupart du temps pour des problèmes autres que ceux qui relèvent du premier degré.

 

Problème du passage de l' "arithmétique" à l'algèbre

Entre l' "arithmétique" et l'algèbre, on peut parler de fausses continuités et de ruptures. En effet, en "arithmétique" et en algèbre il existe certains outils communs : le signe "=", l'usage des parenthèses, les signes opératoires.

Les connaissances "arithmétiques" vont se dresser en obstacles à l'appropriation du domaine algébrique.

La maîtrise de l'algèbre au collège nécessite, de la part des élèves, l'appropriation d'une syntaxe nouvelle mais aussi de nouveaux usages de certains symboles déjà connus comme les symboles opératoires, le signe "=" ou les parenthèses.

En résumé, on peut identifier une double rupture entre "arithmétique" et algèbre :

— celle résultant de l'introduction d'un détour formel dans le traitement des problèmes habituellement traités intuitivement.

— celle résultant de l'utilisation d'objets mathématiques communs et de l'introduction d'objets mathématiques nouveaux comme les équations, les inconnues ou les fonctionsAllrounder Rock Elyse Multisport Lunar K by Outdoor 52 Gris Asfalto Mephisto Chaussures mesh 80 Lacapa Femme PqPwSrz4.

La problématique essentielle est donc le passage d'un raisonnement qui n'utilise le recours à l'écrit que pour effectuer des calculs numériques, à un raisonnement qui utilise des relations entre les nombres.

L'algèbre ne peut donc pas être considérée comme une simple généralisation de l' "arithmétique".

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