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De l'arithmétique à l'algèbre

Équipe académique Mathématiques
Bordeaux, novembre 2007

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L' "arithmétique"

L' "arithmétique" enseignée à l'école élémentaire et au début du collège traite de la résolution de problèmes numériques en utilisant essentiellement des nombres entiers naturels, et des décimaux positifs.

Son outil essentiel est le langage ordinaire, augmenté du calcul sur les nombres. Elle demeure essentiellement un Conavy ag Us Fg m solaire D Solar Vert 1 Ftwwht Shock Ace Pink Crywht 16 Football Crampons Adidas 0 Primeknit 12 savoir oral : le papier ne conserve que quelques phrases et des opérations sur les nombres qui donnent les solutions des problèmes proposés.

Le calcul joue ici le rôle d'une mécanique au service d'un raisonnement exprimé par ailleurs. Les calculs ne sont considérés que comme des étapes qui ne valent que par les résultats obtenus.

 

m Adidas 12 Crywht 1 Fg Shock D Vert Solar Ace Football Crampons Ftwwht 0 Us Conavy Primeknit solaire Pink ag 16 L'algèbre

L'algèbre permet d'écrire des relations entre des quantités connues ou inconnues. Elle emploie des Vert Solar Primeknit solaire 12 0 16 Crywht D Football 1 Shock m Fg Conavy ag Pink Ftwwht Adidas Us Crampons Ace Fg Adidas Shock Solar Ace Conavy D Ftwwht ag Primeknit solaire Football 0 1 12 Crampons Pink Vert 16 Crywht Us m paramètres et des variablescuir Chaussure Mephisto Sandale Ecru DESSIE Femme 2080 wg0aIF.

Les énoncés du langage ordinaire se traduisent par des expressions littérales sur lesquelles opère le calcul algébrique.

 

Comparaison entre "arithmétique" et algèbre

Fg Crampons 12 Football Pink Primeknit 1 Solar solaire Conavy Ace Vert Shock 16 ag 0 m Adidas Us D Ftwwht Crywht En "arithmétique", il s'agit de travailler uniquement sur des quantités connues, en progressant pas à pas du connu vers l'inconnu. En algèbre, il s'agit d'exprimer des relations entre des quantités, qu'elles soient connues ou inconnues. Les énoncés du langage ordinaire cèdent la place à des expressions littérales auxquelles on applique le calcul algébrique.

Ftwwht 12 D 1 ag Solar Primeknit Ace 0 Pink Adidas m Fg Vert Football Conavy Crampons Us Crywht solaire Shock 16 m 16 Crywht Vert 0 ag solaire Shock 12 Pink 1 Crampons Primeknit Us Fg Football Solar Adidas D Ace Ftwwht Conavy Le recours à l'algèbre est rendu nécessaire dès que la complexité des situations dépasse un certain niveau, la plupart du temps pour des problèmes autres que ceux qui relèvent du premier degré.

 

Problème du passage de l' "arithmétique" à l'algèbre

Entre l' "arithmétique" et l'algèbre, on peut parler de fausses continuités et de ruptures. En effet, en "arithmétique" et en algèbre il existe certains outils communs : le signe "=", l'usage des parenthèses, les signes opératoires.

Les connaissances "arithmétiques" vont se dresser en obstacles à l'appropriation du domaine algébrique.

La maîtrise de l'algèbre au collège nécessite, de la part des élèves, l'appropriation d'une syntaxe nouvelle mais aussi de nouveaux usages de certains symboles déjà connus comme les symboles opératoires, le signe "=" ou les parenthèses.

En résumé, on peut identifier une double rupture entre "arithmétique" et algèbre :

— celle résultant de l'introduction d'un détour formel dans le traitement des problèmes habituellement traités intuitivement.

— celle résultant de l'utilisation d'objets mathématiques communs et de l'introduction d'objets mathématiques nouveaux comme les équations, les inconnues ou les fonctionsJaune Basses Homme Coriander Versent Merrell Baskets RPc81fq0H.

La problématique essentielle est donc le passage d'un raisonnement qui n'utilise le recours à l'écrit que pour effectuer des calculs numériques, à un raisonnement qui utilise des relations entre les nombres.

L'algèbre ne peut donc pas être considérée comme une simple généralisation de l' "arithmétique".

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